一、引 言
隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，時(shí)域有限差分法（FiniteDifference TimeDomain）是一種求解電磁問題的數(shù)值計(jì)算技術(shù)，由K.S.Yee于1966年提出。他的基本思想是根據(jù)時(shí)域麥克斯韋方程的場(chǎng)分量微分式，用差分替代微分式，進(jìn)行各場(chǎng)分量的迭代，但是這種方法隨著頻率升高，計(jì)算網(wǎng)格將顯著增加，PC機(jī)的性能將很難滿足需要，而且單純依靠計(jì)算機(jī)性能的提高也是不實(shí)際的。例如，在分析波導(dǎo)膜片濾波器時(shí)，為正確模擬全部膜片的幾何結(jié)構(gòu)，F(xiàn)DTD柵網(wǎng)的網(wǎng)格尺寸選得非常小，從而導(dǎo)致描述整個(gè)波導(dǎo)濾波器的網(wǎng)格數(shù)量非常大。由于每?jī)蓚�(gè)膜片之間都是均勻波導(dǎo)傳輸線，使用與膜片相同的柵網(wǎng)顯然是不必要的。人們?cè)褂梅蔷鶆騀DTD柵網(wǎng)的辦法解決這個(gè)問題，當(dāng)柵網(wǎng)的大小相差比較大時(shí)，不但收斂性不易控制，而且仍無(wú)法確保節(jié)省計(jì)算時(shí)間。將Diakoptics思想運(yùn)用于微波電路的全波分析，通過將電路分割為若干獨(dú)立的部分，根據(jù)每部分的具體結(jié)構(gòu)采用不同的網(wǎng)格，獨(dú)立地對(duì)各個(gè)部分進(jìn)行全波時(shí)域分析，由于每部分的網(wǎng)格是均勻的，因而容易保證算法的收斂性。
二、Diakoptics的概念
Diakoptics的概念來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)理論。其定義為：將一個(gè)網(wǎng)絡(luò)分解為若干子網(wǎng)絡(luò)，對(duì)每個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的沖擊響應(yīng)單獨(dú)求解，最后通過一定的連接條件，由諸子網(wǎng)絡(luò)的沖擊響應(yīng)求出網(wǎng)絡(luò)總的響應(yīng)。連接條件按形式不同可分為串行連接及并行連接。串行連接是依照一定的順序由網(wǎng)絡(luò)的一端向另一端單向連接，見圖1,其優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單，但最大的問題是當(dāng)其中一個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的沖擊響應(yīng)改變時(shí)，將對(duì)其后的網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生影響。并行連接可克服這個(gè)缺點(diǎn)。并行連接可在任意兩個(gè)相鄰的子網(wǎng)絡(luò)間進(jìn)行，且若干并行連接可同時(shí)獨(dú)立進(jìn)行，并行時(shí)域Diakoptics假設(shè)子網(wǎng)絡(luò)為M+N端口網(wǎng)絡(luò)，其中M個(gè)端口和前一級(jí)子網(wǎng)絡(luò)相連，N個(gè)端口和后一級(jí)子網(wǎng)絡(luò)相連。子網(wǎng)絡(luò)的離散格林函數(shù)為g（i,j,n′）即j（j=1,M+N）端口t=0時(shí)刻的激勵(lì)，在i（i=1,M+N）端口t=n′時(shí)刻的沖擊響應(yīng)。
研究微波電路問題時(shí)，若微波電路可以被等效為一個(gè)線性網(wǎng)絡(luò)的話，則可以設(shè)想描述微波電路特性的格林函數(shù)可對(duì)應(yīng)于電路理論中的沖擊響應(yīng)函數(shù)。從電磁場(chǎng)理論角度看，時(shí)域格林函數(shù)g（r,t;r0,t0）為位于r0點(diǎn)的點(diǎn)源t0時(shí)刻施加的單位沖擊信號(hào)在觀察點(diǎn)r及t時(shí)刻的場(chǎng)，且滿足方程
兩個(gè)微波子電路連接時(shí)，其連接參考面上存在著復(fù)雜的耦合關(guān)系，這種耦合關(guān)系可以用電磁波在存在兩個(gè)不連續(xù)界面的媒質(zhì)中反射和透射現(xiàn)象來(lái)形象描述，如圖1所示。那么如何將Diakoptics算法應(yīng)用于微波電路特性分析中呢？在介紹這一點(diǎn)之前，本文首先簡(jiǎn)要介紹Diakoptics算法的數(shù)學(xué)描述。
圖1 媒質(zhì)中反射和透射現(xiàn)象可以用來(lái)形象描述兩個(gè)微波子電路間的耦合關(guān)系
三、Diakoptics算法的數(shù)學(xué)描述
以兩個(gè)二端口網(wǎng)絡(luò)的串、并行連接給出Diakoptics算法的數(shù)學(xué)描述。圖2假設(shè)兩個(gè)子電路的反射及透射波的沖擊響應(yīng)函數(shù)分別為：gr1（t），gr2（t），gt1（t），gt2（t）和hr1（t），hr2（t），ht1（t），ht2（t），上標(biāo)"r"表示反射波，"t" 表示傳輸波，下標(biāo)1表示從輸入?yún)⒖济鎸?duì)電路作激勵(lì)，下標(biāo)2表示從輸出參考面對(duì)電路作激勵(lì)。設(shè)f為兩個(gè)子電路連接后電路的沖擊響應(yīng)函數(shù)。使用串行算法，從f 網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济婵慈氲臎_擊響應(yīng)為：
fr1（t）=gr1（t）+gt2（t）*hr1（t）*gt1（t）+gt2（t）*hr1（t）
*gr2（t）*hr1（t）*gt1（t）+…+gt2（t）*（hr1（t）
*gr2（t））n*hr1（t）*gt1（t）+…； （2）
使用并行算法，從f電路的輸入端口看入的沖擊響應(yīng)函數(shù)fr1（t），ft2（t）以及從f電路的輸出端口看入的沖擊響應(yīng)函數(shù)fr2（t），ft1（t）分別為：
fr1（t）=gr1（t）+gt2（t）*hr1（t）*gt1（t）+gt2（t）*hr1（t）
*gr2（t）*hr1（t）*gt1（t）+…+gt2（t）*（hr1（t）
*gr2（t））n*hr1（t）*gt1（t）+…
ft2（t）=gt2（t）*hr2（t）+gt2（t）*hr1（t）*gr2（t）*ht2（t）+…
+gr2（t）*（hr1（t）*gr2（t））n*hr2（t）+… （3）
fr2（t）=hr2（t）+ht1（t）*gr2（t）*ht2（t）+ht1（t）*gr2（t）
*hr1（t）*gt2（t）*ht2（t）+…+ht1（t）*（gr2（t）
*hr1（t））n*gr2（t）*ht2（t）+…
ft1（t）=ht1（t）*gt1（t）+ht1（t）*gr2（t）*hr1（t）*gt1（t）+…
+ht1（t）*（gr2（t）*hr1（t））n*gr1（t）+…
其中，*代表時(shí)域卷積，上下標(biāo)的含義不變。
圖2 可說明Diakoptics算法的兩個(gè)子電路連接示意圖
多端口子電路連接時(shí)，上述算法依然成立，只是式中各沖擊函數(shù)應(yīng)換為相應(yīng)的子矩陣。例如設(shè)g網(wǎng)絡(luò)為輸入端有M個(gè)、輸出端有N個(gè)端口的M+N端口網(wǎng)絡(luò)，h網(wǎng)絡(luò)為輸入端有N個(gè)、輸出端有L個(gè)端口的N+L端口網(wǎng)絡(luò)（g與h相鄰面的端口數(shù)目應(yīng)相同），g網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫣幍姆瓷洹鬏斪泳仃嚪謩e為：
和
式中下標(biāo)代表參考面，i←j的意思為：i為響應(yīng)所在參考面，j為激勵(lì)所在參考面；上標(biāo)代表端口，m←n的意思為：n為輸入端口，m為輸出端口。同理，g網(wǎng)絡(luò)輸出參考面處的反射、傳輸子矩陣分別為：
和
h網(wǎng)絡(luò)相應(yīng)子矩陣可用同樣方法求得。連接后網(wǎng)絡(luò)的沖擊響應(yīng)函數(shù)[f]為：
[fr1（t）]=[gr1（t）]+[gt2（t）]*[hr1（t）]*[gt1（t）]+[gt2（t）]
*[hr1（t）]*[gr2（t）]*[hr1（t）]*[gt1（t）]+…
[ft2（t）]=[gt2（t）]*[ht2（t）]+[gt2（t）]*[hr1（t）]*[gr2（t）]*[ht2（t）]+…
[fr2（t）]=[hr2（t）]+[ht1（t）]*[gr2（t）]*[ht2（t）]+[ht1（t）]
*[gr2（t）]*[hr1（t）]*[gr2（t）]*[ht2（t）]+…
[ft1（t）]=[ht1（t）]*[gt1（t）]+[ht1（t）]*[gr2（t）]*[hr1（t）]*[gt1（t）]+… （4）
其中[fr1（t）]、[ft1（t）]、[fr2（t）]和[ft2（t）]分別為M×M、L×M、L×L和M×L階子矩陣。下面以[gt2（t）]*[ht2（t）]為例說明如何計(jì)算矩陣卷積，并以[gt2（t）]*[ht2（t）]的第一個(gè)元素為例，說明其物理意義：
g1←11←2*h1←11←2:h子網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個(gè)端口的輸入通過gh連接面第1個(gè)端口的耦合在g子網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫔隙丝?產(chǎn)生的輸出；g1←21←2*h2←11←2:h子網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個(gè)端口的輸入通過gh交界面第2個(gè)端口的耦合在g子網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫔隙丝?產(chǎn)生的輸出；g1←N1←2*hN←11←2:h子網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個(gè)端口的輸入通過gh交界面第N個(gè)端口的耦合，在g子網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫔隙丝?產(chǎn)生的輸出；所以[gt2（t）]*[ht2（t）]的第一個(gè)元素描述了h網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個(gè)端口上的輸入耦合到g網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济娴谝粋�(gè)端口的輸出。
四、Diakoptics算法在微波電路分析中的實(shí)現(xiàn)
Diakoptics源于網(wǎng)絡(luò)理論，為將其應(yīng)用于微波電路的分析中，首先需要建立適于使用Diakoptics方法的微波電路的等效電路模型。
1.微波電路的等效時(shí)域網(wǎng)絡(luò)模型
建立微波電路等效時(shí)域網(wǎng)絡(luò)模型的基本方法是：利用基函數(shù)技術(shù)（或稱時(shí)域模技術(shù)）將參考面處的場(chǎng)表示為選定的正交基函數(shù)的線性組合，將一個(gè)微波網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)多模電路，進(jìn)而再將多模電路等效為多端口網(wǎng)絡(luò)的方法。
選定的基函數(shù)滿足下述條件：只是空間坐標(biāo)的函數(shù)；與時(shí)間無(wú)關(guān)；構(gòu)成一個(gè)完備正交集。且對(duì)于給定的微波電路，選定的基函數(shù)應(yīng)能夠有效地描述電路中電磁場(chǎng)的分布規(guī)律。假設(shè)：X-Y平面為電路橫截面所在平面，Z為傳播方向，電路在Dirac-δ函數(shù)激勵(lì)下在z=z0處的電場(chǎng)分布為 Ei（x,y,z0,t），{φmn（x,y）}為基函數(shù)族，用φmm（x,y）可將微波電路中t=t0,z=z0處的場(chǎng)表示為：
其中amn（z0,t0）為第（m,n）次基函數(shù)的系數(shù)，即幅度，這樣從參考面z=z0看入的微波電路可等效為一個(gè)基于基函數(shù)的等效時(shí)域多模電路。 基函數(shù)的函數(shù)形式既可以是適用于一般電路的正交函數(shù)形式，也可以是特別適用于某類電路的特殊正交函數(shù)。一般說來(lái)，當(dāng)電路幾何結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，不易根據(jù)電路特性選取特殊的正交函數(shù)作為基函數(shù)時(shí)，可以選取矩形脈沖函數(shù)（取網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的值作為整個(gè)網(wǎng)格的平均值，故脈沖寬度為一個(gè)網(wǎng)格的寬度）。但因脈沖函數(shù)描述的只是系統(tǒng)的局部信息，因此要達(dá)到足夠的精度，函數(shù)的展開項(xiàng)數(shù)較多。當(dāng)正交函數(shù)可以有效表述電路的全局信息時(shí)，通常只需幾項(xiàng)或十幾項(xiàng)，就可以達(dá)到所需的精度。例如，對(duì)于均勻填充的矩形波導(dǎo)問題，如根據(jù)波導(dǎo)內(nèi)的場(chǎng)的分布特性，把基函數(shù)選為{sin,cos}正交函數(shù)集，通常只需5項(xiàng)就可以滿足要求。相比較之下，至少需要60個(gè)脈沖即60個(gè)結(jié)點(diǎn)方可較準(zhǔn)確地描述波導(dǎo)系統(tǒng)橫截面上的空間場(chǎng)分布。
基函數(shù)的正交性使得每一個(gè)基函數(shù)可以被視為一個(gè)獨(dú)立的端口，因此上述基于基函數(shù)的等效時(shí)域多模電路就可以進(jìn)一步被視為一個(gè)多端口網(wǎng)絡(luò)。
2.等效多端口網(wǎng)絡(luò)特性的計(jì)算
沖擊函數(shù)的頻譜是無(wú)限寬的，因此不能直接使用FDTD算法求解系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)函數(shù)。FDTD-Diakoptics使用高斯脈沖調(diào)制波作為激勵(lì)，通過加窗Fourier變換技術(shù)，求得有限帶寬微波電路的沖擊響應(yīng)函數(shù)。其中，高斯脈沖激勵(lì)的調(diào)制頻率為電路工作頻帶的中心頻率，脈沖寬度和脈沖時(shí)間采樣間隔取決于頻率分辨率和帶寬。盡管激勵(lì)脈沖具有有限帶寬導(dǎo)致FDTD-Diakoptics求得的沖擊響應(yīng)函數(shù)中包含了加窗帶來(lái)的影響（稱此時(shí)的沖擊響應(yīng)函數(shù)為準(zhǔn)沖擊響應(yīng)函數(shù)），但是只要滿足下述條件：使用FDTD-Diakoptics分析整個(gè)電路特性時(shí)，各個(gè)子電路使用具有相同頻譜特性的激勵(lì)脈沖，計(jì)入加窗對(duì)時(shí)域脈沖的展寬效應(yīng)，最終得到的沖擊響應(yīng)函數(shù)的頻域響應(yīng)是足夠準(zhǔn)確的。
五、FDTD-Diakoptics應(yīng)用實(shí)例及討論
時(shí)域有限差分方法（Finite Difference Time Domain），簡(jiǎn)稱FDTD.FDTD方法是把 Maxwell 方程式在時(shí)間和空間領(lǐng)域上進(jìn)行差分化。利用蛙跳式（Leap frog algorithm）--空間領(lǐng)域內(nèi)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)進(jìn)行交替計(jì)算，通過時(shí)間領(lǐng)域上更新來(lái)模仿電磁場(chǎng)的變化，達(dá)到數(shù)值計(jì)算的目的。用該方法分析問題的時(shí)候要考慮研究對(duì)象的幾何參數(shù)，材料參數(shù)，計(jì)算精度，計(jì)算復(fù)雜度，計(jì)算穩(wěn)定性等多方面的問題。其優(yōu)點(diǎn)是能夠直接模擬場(chǎng)的分布，精度比較高，是目前使用比較多的數(shù)值模擬的方法之一。
本文以一個(gè)波導(dǎo)帶通濾波器的特性分析為例說明該算法的應(yīng)用。圖3為一個(gè)具有5個(gè)膜片的矩形波導(dǎo)帶通濾波器（WR34）。按照本方法首先將該濾波器分為5個(gè)部分，使用FDTD對(duì)其進(jìn)行計(jì)算，求出在所有連接參考面處（圖中虛線所示）的場(chǎng)分布。FDTD計(jì)算中，高斯脈沖調(diào)制函數(shù)為：f（t）=AmaxA（x,y）exp[-（（t- t0）/T）2].sin（2πf0t），其中調(diào)制頻率f0為WR34-TE10模單模工作頻帶的中心頻率；A（x,y）為激勵(lì)幅度空間分布，Diakoptics算法中需計(jì)算所有可能存在的基函數(shù)單一激勵(lì)時(shí)的響應(yīng)，所以A（x,y）依次選為每一個(gè)基函數(shù)。激勵(lì)函數(shù)幅度Amax取決于其沿傳播方向的衰減及計(jì)算精度，基本原則是達(dá)到不連續(xù)性處和觀察面處的場(chǎng)仍具有足夠大的幅度。T的取值要保證在激勵(lì)脈沖的頻譜上截止頻率點(diǎn)處的能量具有足夠小的值。本例中，WR34的單模工作頻帶為：fTE10=17.369GHz,fTE20=34.738GHz,f0=26.0535GHz,T=200（ps），t0=3T,Amax=10,基函數(shù)為φn（x）=sin,相應(yīng)的系數(shù)an（z0,t）如圖4所示（由于文章篇幅原因，只給出一個(gè)結(jié)果）。圖5為用本文方法得到的濾波器頻率特性，圖中可見該結(jié)果與FDTD結(jié)果吻合很好。
圖3 五膜片WR34波導(dǎo)帶通濾波器示意圖
圖4 本文方法得到的圖3中第一個(gè)子電路反射波基函數(shù)的系數(shù)
圖5 圖3所示W(wǎng)R34波導(dǎo)濾波器的頻率特性
六、結(jié) 論
本文介紹了一種分析復(fù)雜微波電路的新方法：FDTD-Diakoptics方法，它可克服傳統(tǒng)的FDTD方法需要大內(nèi)存、長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間的弊病，并可充分發(fā)揮FDTD可易于研究復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)電路的優(yōu)勢(shì)，經(jīng)作者的若干分析設(shè)計(jì)實(shí)例證明，該方法不但比較靈活，且具有較高的精度，是一種比較有效的微波電路仿真分析方法。 |
