本文主要討論測(cè)量50Hz交流暫態(tài)中功率因數(shù)的方法。電路應(yīng)該是R-L類(lèi)型。通過(guò)只獲取電流波形，控制相對(duì)于電壓波形的插入角在±10°公差范圍內(nèi)，就可能實(shí)現(xiàn)對(duì)功率因數(shù)的精確測(cè)量，并且不確定度很低。利用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)表達(dá)式再加上電流峰值和均方根(RMS)值之間的關(guān)系即可計(jì)算出功率因數(shù)。
一些簡(jiǎn)單的操作指令
這種方法專(zhuān)門(mén)用于短路實(shí)驗(yàn)室，或需要在短路電流期間(如10個(gè)周期)計(jì)算功率因數(shù)之時(shí)。要注意的事項(xiàng)很少，比如在電流是對(duì)稱(chēng)的時(shí)候以及控制沒(méi)有電流波形包絡(luò)的時(shí)候測(cè)量RMS值。舉例來(lái)說(shuō)，發(fā)生器附近的短路次暫態(tài);正弦波形狀的電流等等。
讓我們開(kāi)始做測(cè)量：
通過(guò)在電壓過(guò)零期間插入電路記錄電流，記錄時(shí)間為130ms;
得到電流峰值的絕對(duì)值;
得到電流的RMS值，比如90ms之后的值;測(cè)量一個(gè)完整周期內(nèi)(20ms) 的RMS值;
計(jì)算峰值和RMS值的比值;
我們把這個(gè)比值稱(chēng)為Ikcr，將它插入下面這個(gè)公式：
再把這個(gè)稱(chēng)為cosφ的結(jié)果插入另外一個(gè)公式：
計(jì)算cosφ1和err φ之間的差值，結(jié)果就是功率因數(shù)值：
測(cè)量不確定度取決于與電流測(cè)量有關(guān)的不確定度。例如對(duì)于一個(gè)電流測(cè)量不確定度u為1.2%的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)， k=2功率因數(shù)時(shí)的擴(kuò)展不確定度等于：
測(cè)量值從0.9到0.5時(shí)為±0.022
測(cè)量值從0.5到0.2時(shí)為±0.009
理論
這是RL電路的微分方程。如果v是具有下列方程的交流電壓源：
那么方程[1]的解為：
其中：
φ是由arctg(Xl/R)確定的電路特征角：
γ是相對(duì)于電壓波形的插入角;
τ是由L/R確定的電路的時(shí)間常數(shù);
t是時(shí)間(自變量)，可以從0變到+∞。
通過(guò)分析方程[2]發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)分量，第一個(gè)是周期性的，對(duì)稱(chēng)的，第二個(gè)是單向分量，具有依賴于L/R比和插入角γ的漸減指數(shù)行為。當(dāng)γ=0時(shí)，這個(gè)單向分量具有最大值。
讓我們介紹一種只測(cè)量電流的RMS值和峰值就能計(jì)算角度φ的方法。這種方法無(wú)需任何其它測(cè)量，只需以± 10°的精度簡(jiǎn)單地控制插入角γ即可。
通過(guò)在0.9和0.1之間、并以0.05的步距改變角度φ的余弦值，并保持γ參數(shù)固定為0，就能利用微積分程序評(píng)估方程[2]的18個(gè)數(shù)字解。I可以是任何值。應(yīng)該在時(shí)間t=0到t=0.13之間以步距為05E-5對(duì)每個(gè)解進(jìn)行評(píng)估。對(duì)于得到的每個(gè)解，計(jì)算最大值和RMS值，如下圖所示。
cos (φ=0,2)時(shí)的解。
cos (φ=0,5)時(shí)的解。
接著計(jì)算Imax/Irms的比值，我們稱(chēng)之為Ikcr(振幅因數(shù));這個(gè)比值的變化范圍從√2到2√2。
現(xiàn)在將計(jì)算出來(lái)的Ikcr值放到表格中，并與對(duì)應(yīng)的cosφ值進(jìn)行匹配
表1：cosφ和振幅因數(shù)Ikcr之間的關(guān)系。
微分方程[2]的數(shù)字解。
通過(guò)使用多項(xiàng)式近似技術(shù)，并搜索n次多項(xiàng)式，它將返回給定范圍內(nèi)任何Ikcr值的余弦值：
這個(gè)多項(xiàng)式應(yīng)盡量減小方程[2]的實(shí)際數(shù)字解與計(jì)算值之間的誤差。借助MATLAB或EXCEL之類(lèi)的程序，就可以計(jì)算出不同次的各種多項(xiàng)式的系數(shù)，然后選擇最好的一個(gè)。
圖：重疊的多項(xiàng)式曲線。
經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，最佳的多項(xiàng)式近似是由5次曲線確定的，用MATLAB程序進(jìn)行計(jì)算(最小平方方法)，它有以下表達(dá)式：
與5次曲線重疊的微分方程的數(shù)字解
不管怎樣，有一個(gè)殘留誤差無(wú)法忽略：
多項(xiàng)式誤差
為了解決這個(gè)問(wèn)題，讓我們搜索另外一個(gè)多項(xiàng)式，但現(xiàn)在它應(yīng)適合殘留誤差點(diǎn)。
同樣在經(jīng)過(guò)分析之后發(fā)現(xiàn)，最好的多項(xiàng)式曲線具有下列表達(dá)式：
接下來(lái)通過(guò)計(jì)算[3]和[4]兩個(gè)多項(xiàng)式之差就可以得到最終結(jié)果：
現(xiàn)在我們可以證明，這一最終結(jié)果的最大誤差在方程[2]的數(shù)字解±0.065(uerr)之內(nèi)。
殘留誤差。
仔細(xì)觀察‘殘留誤差’和‘多項(xiàng)式誤差’圖形可以發(fā)現(xiàn)龍格現(xiàn)象。曲線在間隔邊緣會(huì)增加誤差。
測(cè)量的不確定度
現(xiàn)在看看不確定度的計(jì)算：唯一測(cè)量的參數(shù)是電流值(峰值和RMS)。它用相同的不確定度進(jìn)行表征(測(cè)量系統(tǒng)是相同的)，它們之間的相關(guān)性是+1。因此通過(guò)應(yīng)用公式：
那么：
借助這個(gè)值就可以計(jì)算由這兩個(gè)多項(xiàng)式傳播的不確定度：
其中cn是多項(xiàng)式的系數(shù)，它是與可忽略的不確定度一起考慮的。
現(xiàn)在再考慮由插入角誤差γ給出的不確定度貢獻(xiàn)。在測(cè)量0.5的功率因數(shù)時(shí)，相對(duì)于零的任何±10°變化都包含最大±0.0002 (2e-04) (uang)的cosφ值變化。
另外考慮由計(jì)算得到的多項(xiàng)式殘留誤差±0.065 (uerr)給出的另外一個(gè)貢獻(xiàn)因素。
uang和uerr被認(rèn)為都是均勻分布的。
現(xiàn)在我們已經(jīng)有充足條件做最終計(jì)算了：
我們可以分析不確定度趨勢(shì)和每種貢獻(xiàn)因素的加權(quán)。
不確定度的變化。
不確定度的貢獻(xiàn)因素。
計(jì)算結(jié)果
鑒于不確定度趨勢(shì)在cosφ變化點(diǎn)的行為，決定將不確定度分為兩個(gè)間隔;舉例來(lái)說(shuō)，將1.2%的不確定度u用于電流讀取，k=2時(shí)與cos測(cè)量相關(guān)的擴(kuò)展不確定度是：
cos φ從0.9到0.5時(shí)為±0.022
cos φ從0.5到0.2時(shí)為±0.009
本文小結(jié)
使用不確定度約為2%-3%的電流測(cè)量鏈可以實(shí)現(xiàn)精確的功率因數(shù)測(cè)量。獲取這些不確定度值不是太困難或太費(fèi)勁。
也可以用機(jī)械裝置插入公差為±10°的電路，比如用直流電流提升的電流接觸器;靜態(tài)開(kāi)關(guān)不是強(qiáng)制要求的。
多項(xiàng)式可以用任何簡(jiǎn)單的微積分程序進(jìn)行計(jì)算，如EXCEL，或用帶數(shù)字函數(shù)的示波器。
從0.9到0.2的測(cè)量范圍覆蓋了大部分低壓標(biāo)準(zhǔn)要求。
這種測(cè)量通過(guò)電壓測(cè)量實(shí)現(xiàn)，因此是完全獨(dú)立的。
使用示波器計(jì)算相位差不是簡(jiǎn)單的一次操作，它暗含了精確的電壓測(cè)量和光標(biāo)的使用。
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